Calculus I Review

Published: November 08, 2025

基本极限与极限运算法则：首先考虑基本极限与极限基本运算法则简化极限计算。
- 对于一些常见的极限式（公式）的极限的存在性与极限值要熟悉！同时注意公式中的变量是可以替换为函数值具有与公式中的变量同样变化过程的任意函数表达式的。
- 特别注意四则运算法则的前提条件是极限存在！极限趋于无穷大是属于极限不存在的特殊描述。
- 根式有理化、换元法、三角恒等式。
洛必达法则注意去心邻域内可导条件和极限式为未定型
夹逼准则项的放大与缩小。放大、缩小后的极限式极限存在且相等。
极限式中包含有一个函数的两个函数值差结构的时候，可以考虑拉格朗日中值定理
导数的定义求极限。
渐近线：水平渐近线与斜渐近线(一共最多两条)、垂直直渐近线(可以有无限条)。

导数的定义求导数对于抽象函数、分段函数分界点、复杂函数一点处导数的计算以及导数存在性的讨论一般都应用导数的定义。
隐函数的导数基于复合函数求导的链式法则求隐函数的导数，明确自变量和函数。
抽象函数求导数
- 写出复合结构，依据链式法则，逐项相乘得到结果。
- 对某个表达式求导时，如果表达式中不含有求导变量，如果表达式中的变量与求导变量有关，则注意求导结果是先关于表达式中的变量求导，再乘以表达式包含的变量关于求导变量求导。
高阶导数
- 求n阶导数的莱布尼兹公式.
- 基于已知\(n\)阶导数计算公式的函数\(\sin x, \cos x, (1+x)^{a}\)，应用\(n\)求导的线性运算法则与复合函数求导求\(n\)阶导数.
曲线的切线与法线导数的几何意义。
线性化与函数微分的计算。
一个关系判定函数可导一定连续，函数连续不一定可导.
相关变化率等式两端的变量是某个变量(一般考虑时间\(t\))的函数，两端同时关于同一变量求导，可以建立不同变量关于同一变量的导数之间的关系，从而依据其中已知变量的变化率可以求未知变量的变化率。

闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数最值（有界性）定理、介值（零值）定理证明中值等式。
方程根的存在性，函数存在零点及个数判定。
一个中值命题证明介值定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理。
中值不等式命题
- 拉格朗日中值定理。
- 对于证明包含函数的不等式命题，拉格朗日中值定理的端点一个取为变量，或者取为两个相差常数值的变量，如\(x\),\(x+1\)。

函数单调性应用
- 通过区间内一阶导数的符号来确定函数的单调性，一阶导数等于\(0\)或者不存在的内点为函数的临界点（critical point）。
- 应用单调性证明不等式。
- 通过判定临界点左右导数符号来确定函数是否取到极值、判定极值类型及求极值点和极值。
- 应用单调性确定方程根、函数零点的数量。
函数凹凸性的应用
- 通过区间内二阶导数的符号来确定函数曲线图形的凹凸性。
- 借助凹凸性验证函数，或常值不等式。
极值、最值
- 极值、最值的求解思路：极值、最值可能的位置（临界点、端点），一阶导数单调性判定法、二阶导数判定法、定义法。
- 最值不需要判定可能的极值点是否为极值，直接将可能的极值点、区间端点值（无穷区间考虑变量趋于无穷大函数的极限值）进行比较即可确定最值是否取到。
- 应用最值验证不等式。