第十七届全国大学生数学竞赛初赛试卷（非数学类 A 卷）
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一、填空题（本题 30 分，每小题 6 分）
设函数 $f(x) = x - \ln(1+x) - \dfrac{1}{2}x\sin x$，$g(x) = ax^3$，且满足 $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$，则常数 $a =$ __．
设平面过原点与点 $(6,\,-3,\,2)$，且与平面 $4x - y + 2z - 8 = 0$ 垂直，则此平面方程为 __．
极限 $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\int_0^{\sin^2 x} \ln(1+t)\,\mathrm{d}t}{\bigl(\sqrt[3]{1+x^3}-1\bigr)\sin x} =$ __．
设函数 $f(u,v)$ 具有一阶连续偏导数，$f(2,0) = 3$，$f_u’(2,0) = 5$，又设 $z = z(x,y)$ 是由方程 $xz = f(2x-y,\, xyz)$ 所确定的隐函数，则 $\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right\vert_{\substack{x=1\ y=0}} =$ __．
设曲线 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=4$ 与平面 $x+y+z=3$ 的交线，则曲线积分 $\displaystyle\int_L (x^2+2xy)\,\mathrm{d}s =$ __．
二、（本题 14 分）
设$f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上连续，在 $x=0$ 处可导，且满足
\[f(x) = x^3 + x^2 \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} - x \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x.\]求函数 $f(x)$ 的表达式．
三、（本题 14 分）
求微分方程 $y’x\ln x\,\sin y + \cos y\,(1 - x\cos y) = 0$ 的通解．
四、（本题 14 分）
设$\Omega$ 是由平面 $\Pi_1: x=0$，$\Pi_2: x=y$，$\Pi_3: y=z$，$\Pi_4: z=1$，$\Pi_5: z=2$ 所围成的空间区域，求三重积分
\[I = \iiint_\Omega \frac{\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z}{\sqrt{y^2+z^2}}.\]五、（本题 14 分）
判断级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的收敛性，其中 $a_n = \sin^2 x\,\sin^2 2x \cdots \sin^2(2^n x)$，$x \in (-\infty, +\infty)$．
六、（本题 14 分）
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可导且满足以下三个条件：
$\text{(i)}\ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x = 0;$
$\text{(ii)}\ f’(x)g(x) - f(x)g’(x) > 0,\quad x \in [a,b];$
$\text{(iii)}\ g(x)\text{ 在 }(a,b)\text{ 内有唯一零点 }\xi.$
证明：
$(1)\ \int_a^b f(x)\left(\int_a^x g(s)\,\mathrm{d}s\right)\mathrm{d}x = -\int_a^b g(x)\left(\int_a^x f(s)\,\mathrm{d}s\right)\mathrm{d}x;$
$(2)\ \int_a^b f(x)\left(\int_a^x g(s)\,\mathrm{d}s\right)\mathrm{d}x > 0.$